Je me suis réveillé un matin en me disant que c’est curieux qu’il existe en mathématique un nombre d’or, mais pas de nombre d’argent ou de bronze ? Eh bien, une petite recherche rapide sur Internet m’a permis de découvrir que ces nombres là existent bel et bien !

Si le nombre d’or vaut à peu près 1.618, le nombre d’argent vaut environ 2.414 et le nombre de bronze quant à lui s’approche de 3.302.

J’imagine que si on parle de “divine proportion” pour le premier, on pourrait s’autoriser à parler de “sympathique proportion” pour le deuxième, voire de “proportion ok” pour le troisième…

Du coup, je prends enfin le temps d’écrire un petit billet de blog autour de ce thème. Aujourd’hui, nous parlerons donc des nombres métalliques.

Les nombres métalliques

Je fais ici un rapide résumé de la page Wikipédia traitant des nombres métalliques, qui sont une généralisation du nombre d’or.

Le nombre d’or

Pour rappel, le nombre d’or est la constante positive $\varphi$ solution de l’équation :

\[\varphi^2 = \varphi+1\]

L’unique solution positive de cette équation polynomiale de degré 2 est un nombre irrationnel et vaut :

\[\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398\dots\]

Ce nombre a beaucoup de particularités intéressantes et apparaît par exemple dans la suite de Fibonacci. Une des choses que je trouve très rigolote est par exemple son développement en fraction continue :

\[\varphi = 1 + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}\]

Les nombres métalliques

Le nombre métallique d’indice $p$ se définit quand à lui comme la solution positive de l’équation :

\[\varphi_p^2 = \textcolor{red}{p} \cdot \varphi_p + 1\]

Ainsi le nombre d’or est dans ce contexte le nombre métallique d’indice 1.

\[\varphi \equiv \varphi_1\]

L’expression analytique du nombre métallique d’indice $p$ est donnée par :

\[\varphi_p = \frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}\]

Son développement en fraction continue est également très joli :

\[\varphi = p + \cfrac{1}{p+\cfrac{1}{p+\cfrac{1}{p+\cdots}}}\]

Voici les premiers nombres métalliques et leur valeur :

Indice Nom Expression Valeur approchée
1 Nombre d’or $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $1.618\dots$
2 Nombre d’argent $1+\sqrt{2}$ $2.414\dots$
3 Nombre de bronze $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ $3.302\dots$
4 NA $2+\sqrt{5}$ $4.236\dots$
5 NA $\frac{5+\sqrt{29}}{2}$ $5.192\dots$

La divine proportion et l’homme de Vitruve ?

L’homme de Vitruve construit avec différents nombres métalliques

Liens

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_m%C3%A9tallique

http://www.crl.nitech.ac.jp/~ida/education/VitruvianMan/

https://blog.world-mysteries.com/science/vitruvian-man-by-leonardo-da-vinci/